AMC10经典培训教材 - 数学 (10)

基础知识

1. 排列

排列(permutation)是指对一组对象进行有序的安排或列举。例如，Alex、Bob 和 Cathy 三人坐在一排三个座位上，不同的坐法共有 \( 6 : {ABC},{ACB},{BAC},{BCA},{CAB} \) 种，且 \( {CBA} \) 。再举一例，若我们有三个数字 1、5、9，且每个数字在任何一个三位数中只能使用一次，则可组成六个三位数:159、195、519、591、915 和 951。

(1). 我们有 \( n \) 个不同元素，希望从中无重复地排列 \( r \) 个，其中 \( 1 \leq r \leq n \) 。

此类排列的数量为 \( \;P\left( {n, r}\right) = \frac{n!}{\left( {n - r}\right) !} \) (19.1)

(2). 我们有 \( n \) 个不同的元素，并且希望将这 \( n \) 个元素全部排列，且不允许重复。

\[ \text{We let}r = n\text{in (1) to get}P\left( {n, n}\right) = n\text{!} \tag{19.2} \]

这些 \( n \) 个不同对象可以有 \( n \) !种排列方式。

符号!(阶乘，factorial)定义如下: \( 0! = 1 \) (19.3)

以及对于整数 \( n \geq 1, n! = n \cdot \left( {n - 1}\right) \cdots 1 \) (19.4)

\[ 1! = 1 \]

\[ 2! = 2 \cdot 1 = 2 \]

\[ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]

\[ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = {24} \]

\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 = {120} \]

\[ 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = {720} \]

(3) 循环排列(Circular Permutations)

将 \( n \) 个不同对象排成一个圆(圆排列，circular permutations)的方案数为(n - 1)!(19.5)

我们可以把这个问题想象成 \( n \) 个人围坐在圆桌旁。由于旋转圆桌不会改变排列，我们可以把 \( A \) 固定在一个位置，然后计算其余人的坐法。 \( B \) 可以视为第一个就座的人， \( M \) 则是最后一个就座的人。将 \( A \) 到 \( M \) 这些人进行排列的方式数，与将 \( B \) 到 \( M \) 这些人排成一列的方式数相同。因此，总方式数为 \( \left( {n - 1}\right) ! \) 。

2. 组合

定义:

组合是一种事物的排列或列举方式，其中顺序无关紧要

重要。

设 \( n, r \) 为非负整数，满足 \( 0 \leq r \leq n \) 。符号 \( \left( \begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right) \) (读作“ \( n \)

选 \( r \) ”)定义并表示为

\[ \left( \begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right) = \frac{P\left( {n, r}\right) }{P\left( {r, r}\right) } = \frac{n!}{r!\left( {n - r}\right) !} \tag{19.6} \]

记住: \( \left( \begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right) = 1,\left( \begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}\right) = n \) ，且 \( \left( \begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right) = 1 \)

由于 \( n - \left( {n - r}\right) = r \) ，我们有 \( \left( \begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right) = \left( \begin{matrix} n \\ n - r \end{matrix}\right) \) (19.7)

若有 \( n \) 个不同元素，且排列顺序无关紧要，则从中选取 \( m \) 个元素(其中 \( 1 \leq m \leq n \) )的组合数为 \( \left( \begin{array}{l} n \\ m \end{array}\right) \)

3. 分组定理

(a) 设共有 \( n \) 个不同对象。将其划分为 \( r \) 组 \( {A}_{1},{A}_{2},\ldots ,{A}_{r} \) ，使得第 \( {A}_{1},{n}_{2} \) 组有 \( {n}_{1} \) 个对象，第 \( {A}_{2},\ldots ,{n}_{r} \) 组有 \( {A}_{r} \) 个对象，且 \( {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{r} = n \) 。则划分方式的总数为

\[ N = \frac{n!}{{n}_{1}!{n}_{2}!\cdots {n}_{r}!} \tag{19.8} \]

(b) 设有 \( r \) 类对象:第1类 \( {n}_{1} \) 个，第2类 \( {n}_{2} \) 个，依此类推。这些 \( {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{r} = n \) 个对象的重排方式总数为

\[ \frac{n!}{{n}_{1}!{n}_{2}!\cdots {n}_{r}!} \tag{19.9} \]

4. 基本计数原理

若一项任务由 \( k \) 个独立步骤组成，第一步有 \( {n}_{1} \) 种完成方式，第二步有 \( {n}_{2} \) 种方式，……，第 \( {k}^{\text{th }} \) 步有 \( {n}_{\mathrm{k}} \) 种方式，则完成该任务的所有可能结果总数为各步方式数的乘积:

\[ N = {n}_{1} \times {n}_{2} \times {n}_{3} \times \ldots \times {n}_{k} \tag{19.10} \]

例题

1. 利用基本计数原理计数

例1.(2004 AMC 10 B)有多少个两位正整数至少含有一个数字7？(A) 10(B) 18 (C) 19 (D) 20(E) 30

解答:(B)。

方法1(官方解答):

有10个两位数的十位数字是7，有9个两位数的个位数字是7。由于77同时满足这两个条件，答案是 \( {10} + 9 - 1 = {18} \) 。

方法二(我们的解法):

我们用间接方法解决此题。假设我们只有数字0，

1,2,3,4,5,6,8,9.

可以组成 \( 8 \times 9 = {722} \) 位不含数字7的正整数。

总共有 \( 9 \times {10} = {902} \) 位正整数。

所以答案是 \( {90} - {72} = {18} \) 。

例2.(2003 AMC 10 B)一家餐厅提供三种甜点，且开胃菜的数量恰好是主菜的两倍。一份晚餐由一道开胃菜、一道主菜和一道甜点组成。问餐厅最少需要准备多少种主菜，才能使顾客在2003年的每一天都能吃到不同的晚餐？

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

解答:(E)。

方法一(官方解法):

设 \( m \) 为满足要求所需的主菜数量。

则可供选择的晚餐数量为 \( 3 \cdot m \cdot {2m} = 6{m}^{2} \) 。因此 \( {m}^{2} \) 必须至少为 \( {365}/6 \approx {61} \) 。由于 \( {7}^{2} = {49} < {61} < {64} = {8}^{2},8 \) 种主菜足够，而7种不够。

方法二(我们的解法):

设 \( m \) 为主菜数量。

根据基本计数原理，顾客可享用的晚餐数量为 \( 3 \times m \times {2m} \) ，该数应大于365。我们尝试 \( m = 8 \) ，得到3

\( \times 8 \times \left( {2 \times 8}\right) = {384} \) ，已足够。再试 \( m = 7 \) ，得到 \( 3 \times 7 \times (2 \) \( \times 7) = {294} \) ，不足。故答案为(E)。

例3. Bill's Hotdog 提供的热狗可搭配以下配料:番茄酱、芥末酱、蛋黄酱、番茄、生菜、酸黄瓜、奶酪、开胃酱、辣椒和洋葱。顾客可以选择一、二、三或四块肉饼，并可任意组合配料。可以订购多少种不同的热狗？ (A) 2400 (B) 2560 (C) 4096 (D) 4030 (E) 8890

解答:(C)。

顾客对每种配料有10种选择:加或不加。这些选择相互独立，因此共有 \( {2}^{10} = {1024} \) 种配料组合。对于每一种配料组合，肉饼数量又有4种选择。根据基本计数原理，总共有(4)(1024)=4096种不同的热狗。

例4. 一位甜品师为从周日开始的一周每天准备甜点。每天的甜点可以是蛋糕、饼干、酥点、冰淇淋、派或糖果。不能连续两天供应同一种甜点。由于生日，周六必须有冰淇淋；由于 \( \pi \) 日，周一必须有派。那么这一周共有多少种不同的甜品菜单

可能？ (E) 3125 (A) 2500 (B) 1024 (C) 3072 (D) 2560

解答:(A)。

我们先处理周日和周二。周日有5种选择(除派外均可)。周二也有5种选择。接着处理周五。周五有5种选择(除冰淇淋外均可)。周四也有5种选择。周三只有4种选择(不能是周二或周四的甜点)。因此共有 \( 5 \times 1 \times 5 \times 4 \times 5 \times 5 \times \) \( 1 = 4 \times {5}^{4} = {2500} \) 种可能的甜品菜单。

例5. 如下图所示，五个区域 \( {ABCDE} \) 每个都要涂一种颜色。共有5种颜色可选，且相邻区域不能同色。若每种颜色可重复使用，共有多少种不同涂法？ (A) 360 (B) 540 (C) 720 (D) 1440 (E) 180 解答:(B)。 方法一:先给区域 \( A \) 涂色，有5种方法。接着给区域 \( B \) 涂色(有4种方法)。再给区域 \( \mathrm{C} \) 涂色(有3种方法)。区域 \( D \) 有3种方法(不能与 \( A \) 或 \( C \) 同色)。最后区域 \( E \) 也有3种方法(不能与 \( A \) 或 \( D \) 同色)。

根据乘法原理，共有 \( 5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 3 = {540} \) 种不同涂法。

方法二:

我们分五种情况:

情况1:所有区域颜色各不相同。

方法数为 \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = {120} \) 。

情况2:区域 \( B \) 与 \( D \) 同色，且区域 \( C \) 与 \( E \) 同色。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 5 \times 4 \times 1 \times 3 \times 1 = {60}. \)

情况3:区域 \( B \) 与 \( D \) 同色，而区域 \( C \) 与 \( E \) 不同色。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 5 \times 4 \times 3 \times 1 \times 2 = {120}. \)

情况4:区域 \( B \) 与 \( D \) 颜色不同，而区域 \( C \) 与 \( E \) 颜色相同。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = {120}. \)

情况5:区域 \( B \) 与 \( E \) 颜色相同。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & E & C & E \end{array} \)

\( 5 \times 4 \times 1 \times 3 \times 2 = {120} \) .

答案为 \( {120} + {60} + {120} + {120} + {120} = {540} \) 。

例6. 如图，有五个区域需用六种不同颜色着色。每个区域只能涂一种颜色，且相邻区域颜色不能相同。共有多少种不同的着色方法？

(A) 1440 (B) 720 (C) 1560 (D) 1024 (E) 2016

解答:(C)。

方法一:

首先给区域 \( A \) 着色有6种方法。接着给区域 \( B \) 着色有5种方法，再给区域 \( C \) 着色有4种方法。

对于区域 \( D \) 的颜色，有两种情况:情况I:与 \( B \) 颜色不同。

给 \( D \) 着色有3种方法(剩余三种颜色可选)，给 \( \mathrm{E} \) 着色有3种方法(可从剩余两种颜色或 \( C \) 同色中选)。

情况II:与 \( B \) 同色。

给 \( D \) 着色有1种方法，给 \( E \) 着色有4种方法。

答案为 \( 6 \times 5 \times 4 \times \left( {3 \times 3 + 1 \times 4}\right) = {1560} \) 种方法。

方法二:

我们有五种情况:

情况1:所有区域颜色各不相同。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = {720}. \)

情况2:区域 \( B \) 和 \( D \) 颜色相同，而区域 \( C \) 和 \( E \) 颜色相同。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 6 \times 5 \times 1 \times 4 \times 1 = {120} \) .

情况3:区域 \( B \) 和 \( D \) 颜色相同，而区域 \( C \) 和 \( E \) 颜色不同。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 6 \times 5 \times 1 \times 4 \times 3 = {360}. \)

情况4:区域 \( B \) 和 \( D \) 颜色不同，而区域 \( C \) 和 \( E \) 颜色相同。

方法数为

\( \begin{array}{lllll} A & B & D & C & E \end{array} \)

\( 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 1 = {360} \) .

答案为 \( {720} + {120} + {360} + {360} = {1560} \) 。

例7. 用红、黄、蓝、黑四种颜色给如图所示图形着色。每个区域涂一种颜色，且相邻区域颜色不能相同。若每种颜色可重复使用，共有多少种着色方法？

(C) 30 (D) 24 (E) 42

解答:(A)。

我们分两种情况:

情况I:区域 \( A \) 与区域 \( B \) 颜色相同。给区域 \( A \) 着色有4种方法，给区域 \( B \) 着色有1种方法。接着给区域 \( C \) 着色有3种方法，给区域 \( D \) 着色有2种方法。共计 \( 4 \times 3 \times 2 = {24} \) 种方法。

情况二:区域 \( A \) 与区域 \( B \) 颜色不同。我们有4种方式为区域 \( A,3 \) 着色，为区域 \( B,2 \) 着色，为区域 \( C \) 着色，以及1种方式为区域 \( D \) 着色。这共给出 \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = {24} \) 种方式。因此，总共有 \( {24} + {24} = {48} \) 种方式为给定图形着色。

2. 使用排列与组合计数

例8. 使用数字3、4、5、6，可以组成多少个不同的三位正奇数，且每个数字在数中最多出现一次？

(A) 20 (B) 18 (C) 14 (D) 16 (E) 12

解答:(E)。

方法一:

由于末位必须是奇数，我们有两种选择个位数字(3或5)。确定个位后，十位有3种选择，百位有2种选择。答案为 \( 3 \times 2 \times 2 = {12} \) 。

\( \frac{3}{}\frac{2}{}\frac{2}{\text{ Units digit }} \)

方法二:

当个位为3时，剩余数字为4、5、6。十位与百位有 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times 2 \) !种排列方式。

当个位为5时，剩余数字为3、4、6。十位与百位有 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times 2 \) !种排列方式。

答案为 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! + \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! = 6 + 6 = {12} \) 。

例9.(2013 AMC 10 A)学生需从英语、代数、几何、历史、美术、拉丁语六门课程中选出四门课程。该方案必须包含英语且至少包含一门数学课程。共有多少种选法？

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 16

解答:(C)。

方法一(官方解答):

由于英语必选，学生需从剩余5门课程中选3门。若学生同时选两门数学课程，则最后一门课程有3种选择；若学生只选2门数学课程中的1门，则需从剩余3门课程中再排除1门，共 \( 2 \times 3 = 6 \) 种方案。因此共有 \( 3 + 6 = 9 \) 种方案。

方法二(官方解法):

由于英语为必修，学生还需从剩余5门课程中

选3门。在这种可能中，有一种不含数学课。

因此可选方案总数为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) - 1 = 9 \) 。

方法三(我们的解法):

我们将课程列示如下:

英语(必选)

代数、几何(至少选一门)

历史、美术、拉丁语(选2或3门)。

分两种情况:

情况1:1门英语、1门数学、2门其他: \( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) = 6 \) 。

情况2:1门英语、2门数学、1门其他: \( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) = 3 \) 。

答案为 \( 6 + 3 = 9 \) 。(C)

例10. 一个信封里有八张钞票:2张1美元、2张5美元、2张10美元、2张20美元。不放回地抽取两张，共有多少种方式使它们的总额≥ \( \ $ {20} \) ？

(A)10 (B)12 (C)13 (D)14 (E)20

解答:(D)

方法1:

我们有以下情况，使得总和至少为 \( \ $ {20} \) :

答案是 \( 1 + 4 + 4 + 4 + 1 = {14} \) 。

方法二:

要得到至少 \( \ $ {20} \) 的总和，可以选择两张 \( \ $ {20} \) 面额的钞票、两张 \( \ $ {10} \) 面额的钞票，或者一张 \( \ $ {20} \) 面额的钞票和六张较小面额中的任意一张。

情况1:\ $ 20 \ $ 20 \( \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) = 1 \) 种方式

情况2:\ $ 10 \ $ 10 \( \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) = 1 \) 种方式 情况3: \( \;\ $ {20}\;\ $ 1 \) (或 \( \ $ 5 \) 或 \( \ $ {10} \) ) \( \;\left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array}\right) = {12} \) 种方式 答案是 \( 1 + 1 + {12} = {14} \) 。 例11.(1990 AMC)在乔治·华盛顿的一次聚会上，每位男士都与除配偶外的所有人握手，女士之间不握手。若有13对夫妇出席，这26人之间共有多少次握手？

(A)78 (B)185 (C)234 (D)321 (E)325

解答:(C)。

方法一(官方解法，间接法):

如果Alex与Bob握手或Bob与Alex握手，只算一次，因此顺序无关紧要，可用组合解决此题。

共有26人，因此最多有 \( \left( \begin{array}{l} {26} \\ 2 \end{array}\right) \) 次握手。其中， \( \left( \begin{array}{l} {13} \\ 2 \end{array}\right) \) 次握手发生在女士之间，另有13次为夫妻之间的握手。故最终答案为 \( \left( \begin{array}{l} {26} \\ 2 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} {13} \\ 2 \end{array}\right) - {13} = {234} \) 。 方法二(我们的解法，直接法):

男士之间有 \( \left( \begin{array}{l} {13} \\ 2 \end{array}\right) = {78} \) 次握手。

男士与女士之间有 \( {13} \times {12} = {156} \) 次握手

答案是 \( {78} + {156} = {234} \) 。

例12. 在2只猫、3只狗和10只猪的群体中，若Joe Cat、Billy Dog和Samuel Pig彼此不和，不能同组工作，问有多少种方式可选出6只动物的委员会？有多少个相容的委员会？

(A)2772 (B)3300 (C)4400 (D)2880 (E)1650

解答:(B)。

一个相容的组要么排除这三种动物，要么恰好包含其中一种。这可以在 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} {12} \\ 6 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} {12} \\ 5 \end{array}\right) = {3300} \) 个委员会中完成。

例13.(1994 AMC)一排九把椅子将由六名学生和Alpha、Beta、Gamma三位教授就座。这三位教授先于六名学生到达，并决定选择座位，使得每位教授都坐在两名学生之间。Alpha、Beta和Gamma三位教授有多少种选择座位的方式？

(A)12 (B)36 (C)60 (D)84 (E)630

解答:(C)。

方法1(官方解答):

两端椅子必须由学生就座，因此教授们可从中间七把椅子中选择，且不能相邻。若将这些椅子编号为2至8，则三把椅子可以是:

\( \left( {2,4,6}\right) ,\left( {2,4,7}\right) ,\left( {2,4,8}\right) ,\left( {2,5,7}\right) ,\left( {2,5,8}\right) \)

\( \left( {2,6,8}\right) ,\left( {3,5,7}\right) ,\left( {3,5,8}\right) ,\left( {3,6,8}\right) ,\left( {4,6,8}\right) \) .

在每个三元组中，教授们有3!种排列方式，因此总数为 \( {10} \times 6 = {60} \) 。

方法2(官方解答):

想象六名学生先站成一排。他们之间有5个空隙，每个空隙最多可坐一位教授。因此，三位教授选择位置的方式有 \( \mathrm{P}\left( {5,3}\right) = 5 \times 4 \times 3 = {60} \) 种。

方法3(我们的解答):

我们先安排学生。学生就座后，有五个空隙供三位教授选择 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \) (两端空隙不算，因为每位教授需坐在两名学生之间)，且教授们有3!种重新排列方式。根据乘法原理，答案为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \times 3! = {60} \) 。例14. 一排七把相同的椅子将由四名学生就座。有多少种安排方式，使得三把空椅子中恰好有两把相邻？

(A)120 (B)240 (C)360 (D)480 (E)630

解答:(D)。

我们将相邻的两把空椅子捆绑视为一个整体，记为 \( A \) 。另一把空椅子记为 \( B \) 。

我们有 \( 4! = {24} \) 种方式安排4名学生与4把椅子。有 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {10} \)

种方式插入 \( A \) 和 \( B \) ，并乘以2，因为 \( A \) 和 \( B \) 可互换位置。

根据基本计数原理(Fundamental Counting Principle)，答案为 \( {24} \times {10} \times 2 = {480} \) 。

例15. 一位园丁将3棵枫树(maple trees)、2棵橡树(oak trees)和4棵桦树(birch trees)中的8棵排成一行种植，共有多少种方法？

(A) 1260 (B) 1240 (C) 1360 (D) 1480 (E) 1630

解:(A)。

情形I:若选2棵枫树、2棵橡树和4棵桦树，则有 \( \frac{8!}{2!2!4!} = {420} \) 种方法。

情形II:若选3棵枫树、1棵橡树和4棵桦树，则有 \( \frac{8!}{3!1!4!} = {280} \) 种方法。情形III:若选3棵枫树、2棵橡树和3棵桦树，则有 \( \frac{8!}{3!2!3!} = {560} \) 种方法。

种植这些树的总方法数为 \( {420} + {280} + {560} = {1260} \) 。

例16. 若Alex和Betsy不得相邻，六名学生坐在一排六个座位上的不同方式有多少种？

(A) 480 (B) 400 (C) 460 (D) 280 (E) 230

解:(A)。

方法1(间接法):

总排列数为6!。

将Alex和Betsy视为一个整体，排列数为5!。

考虑到Alex和Betsy可互换位置，结果为 \( 2 \times \) 5!。

答案为 \( 6! - 2 \times 5! = {480} \) 。

方法2(直接法):

我们先安排其余四人，共有4!种方式。

Alex Betsy

他们之间共有五个空位。我们从中选两个空位来安排Alex和Betsy，然后交换两人的位置。方法数为:

\( 4! \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! = {480} \)

例17. 三女四男排成一排拍照，有多少种排列使得Alex和Betsy之间恰好隔一人？

(A) 1200 (B) 2400 (C) 3600 (D) 4800 (E) 5280

解答:(A)。

我们把Alex、C和Betsy视为一个整体，排列数为5!。

我们有五种方式选择 \( \mathrm{C} \) ，且Alex和Betsy可以互换位置，因此答案为 \( 5 \times 2 \times 5! = {1200} \) 。

例18. 三女四男排成一排拍照，有多少种排列使得三女互不相邻？

(A) 1200 (B) 1440 (C) 1600 (D) 1800 (E) 3280

解答:(B)。

我们先安排四男，有 \( 4! = {24} \) 种方式。四男之间形成五个空位，我们把三女安排在这些空位中，有 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) = {10} \) 种方式。由于三女可以互换位置，需再乘以3!。

因此答案为 \( {24} \times {10} \times 3! = {1440} \) 。

例19. 七人围圆桌就座，若Alex和Bob不得相邻，有多少种方式？

(A) 240 (B) 480 (C) 720 (D) 360 (E) 120

解答:(B)。

7个人围圆桌就座共有720种方式。

我们把Alex和Bob视为一个整体来计算他们相邻就座的方式，共有 \( \left( {6 - 1}\right) ! = 5! \) 种。若交换Alex与Bob的位置，结果再乘以2，最终答案为 \( {720} - 2 \times 5! = {720} - 2 \times {120} = {480} \) 。

例20. 若4位男士与4位女士围圆桌就座，要求任意两位男士不相邻，共有多少种就座方式？

(A) 720 (B) 540 (C) 162 (D) 144 (E) 120

解答:(D)。

先安排4位女士，共有 \( \left( {4 - 1}\right) ! = 3! \) 种方式。女士就座后，在下图所示的4个空位中安排4位男士，有4!种方式。 \( 4! \times 3! = {144} \) 。

例21. (2008 AMC 10 B 第21题) 圆桌周围均匀摆放10把椅子，顺时针编号1至10。五对夫妻要入座，要求男女交替且任何人不得与配偶相邻或正对。共有多少种可能的就座安排？

(A) 240 (B) 360 (C) 480 (D) 540 (E) 720

解答:(C)。

方法1(官方解答):

先安排女士。第一位女士可坐任意一把椅子。因男女必须交替，其余女士的选择依次为4、3、2、1，因此女士就座方式共有 \( {10} \times 4! = {240} \) 种。不失一般性，假设1号椅坐了一位女士，则其配偶只能坐4号或8号椅。若坐4号椅，则7、3、9、5号椅的女士其配偶必须分别坐10、6、2、8号椅；若坐8号椅，则5、9、3、7号椅的女士其配偶必须分别坐2、6、10、4号椅，

依此类推。因此，对于每一种女士就座方式，男士有2种安排。故共有 \( 2 \times {240} = {480} \) 种可能的就座安排。

方法2(我们的解答):

先安排男士。

第一位男士( \( {h1} \) )可坐任意一把椅子。他坐定后，其余4位男士有 \( \left( {5 - 1}\right) ! = 4! = {24} \) 种就座方式。

现在女士1(w1)有2种就座方式。

如果她坐在 \( {h2} \) 和 \( {h3} \) 之间，如图所示，那么女性2(w2)可以坐在 \( {h1} \) 和 \( {h5} \) 之间。这样我们就无法按照规则安排她们就座。

如果女性2(w2)坐在 \( {h3} \) 和 \( {h4} \) 之间，我们有两种情况，其中一种情况可行，如图所示。可行的方式共有 \( {24} \times {10} = {240} \) 种。

如果女性1(w1)坐在 \( {h4} \) 和 \( {h5} \) 之间，如图所示，女性2(w2)可以坐在 \( {h3} \) 和 \( {h4} \) 之间(不可行)，或者坐在 \( {h1} \) 和 \( {h5} \) 之间(可行)。可行的方式共有 \( {24} \times {10} = {240} \) 种。

答案为 \( {240} + {240} = {480} \) 。

问题

问题1. 使用不含0且至少含一个7的数字，可以组成多少个三位正整数？

(A) 210 (B) 217 (C) 219 (D) 220 (E) 230

问题2. 一家餐厅提供五种甜点，开胃菜的数量恰好是主菜的三倍。一顿晚餐包括一份开胃菜、一份主菜和一份甜点。问餐厅最少需要提供多少种主菜，才能使顾客在2016年的每一天都能吃到不同的晚餐？

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

问题3. 一个女孩有5件衬衫、4条裙子和3双鞋。她可以搭配出多少套不同的服装？

(A) 24 (B) 46 (C) 50 (D) 60 (E) 12

问题4. 一位甜点师从星期四开始为一周中的每一天准备甜点。每天的甜点可以是蛋糕、饼干、冰淇淋、派或糖果。不能连续两天提供同一种甜点。由于生日，星期六必须提供冰淇淋。问共有多少种不同的甜点菜单？

(A) 1024 (B) 2048 (C) 3072 (D) 4096 (E) 2016

问题5. 有五个区域需要用四种不同颜色着色。如果相邻区域不能使用相同颜色，共有多少种着色方式？

(A) 24 (B) 48 (C) 72 (D) 96 (E) 16

问题6. 使用3种不同颜色给4个区域着色，如果相邻区域不能同色，共有多少种着色方式？

(A) 12 (B) 48 (C) 18 (D) 72 (E) 16

问题7. 如图所示，六个区域 \( {ABCDEF} \) 需各涂一种颜色。有4种颜色可选，相邻区域颜色不能相同。若每种颜色可重复使用，共有多少种不同涂法？

(A) 720 (B) 732 (C) 540 (D) 432 (E) 108

问题8. 用数字1,2,3,4,5可组成多少个不同的三位正偶数，且每个数字在同一数中不重复使用？ (A) 24 (B) 28 (C) 72 (D) 86 (E) 48

问题9. 希望高中开设三门社会科学选修课和四门科学选修课。Alex本学期需从中选三门，且每门学科至少选一门，共有多少种选法？

(A) 30 (B) 35 (C) 42 (D) 48 (E) 50

问题10. 一位司机驶近收费站，从口袋中取出两枚硬币。口袋里有2个25美分(quarter)、2个10美分(dime)和2个5美分(nickel)。若需支付30美分的过路费，共有多少种取法使两枚硬币总额至少为30美分？

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 7

问题11. 一次会议上，每位来宾与其他每位来宾恰好握手一次。已知女性之间握手36次，男性之间握手28次，求女性与男性之间的握手次数。

(A) 72 (B) 78 (C) 36 (D) 38 (E) 120

问题12. 用单词heptagon中的五个字母可组成多少个不同的五字母代码，要求字母 \( {pa} \) 必须相邻且同时出现在每个代码中？

(A) 960 (B) 820 (C) 460 (D) 380 (E) 720

问题13. 一排10把椅子需由7名学生和3位老师(Alex、Bob和Gary)就座。三位老师先于学生到达，决定选座，使每位老师都坐在两名学生之间。Alex、Bob和Gary共有多少种选座方式？

(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 480 (E) 630

问题14. 一排5把椅子，3名学生就座，共有多少种不同坐法？

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 30

问题15. 一位园丁将三棵相同的枫树、四棵相同的橡树和五棵相同的桦树排成一行。有多少种方法使得没有两棵桦树相邻？

(A) 960 (B) 840 (C) 480 (D) 240 (E) 230

问题16. 七个人排成一行拍照，包括一位老师、两个男孩和四个女孩。老师必须坐在中间，且两个男孩不能相邻。求不同的座位安排数。(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 480 (E) 528

问题17. 七名学生坐在一排七个座位上，要求Alex和Betsy之间恰好有两个人，有多少种不同的坐法？(A) 820 (B) 960 (C) 1210 (D) 1480 (E) 1528

问题18. 三个女孩和四个男孩排成一行拍照。有多少种安排使得男孩既不在最左端也不在最右端？

(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 720 (E) 520

问题19. 一家六口围坐在圆桌旁，最小的孩子必须坐在父母之间，有多少种坐法？

(A) 240 (B) 120 (C) 72 (D) 36 (E) 12

问题20. 四对已婚夫妇围坐在圆桌旁，要求没有两位男士相邻，也没有夫妻相邻，有多少种坐法？

(A) 28 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 7

问题21. 圆桌周围均匀摆放十把椅子。五对已婚夫妇就座，要求男女交替，且每个人既不挨着也不正对着自己的配偶。有多少种可能的座位安排？

(A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 54 (E) 72

问题22. (2008 AMC 10 第22题) 三颗红色珠子、两颗白色珠子和一颗蓝色珠子随机排成一行。求没有相邻珠子颜色相同的概率。

(A) \( 1/{12} \) (B) \( 1/{10} \) (C) \( 1/6 \) (D) \( 1/3 \) (E) \( 1/2 \)

解答:

问题1. 解答:(B)。

方法1(间接法):

我们有9个可用数字:1、2、3、4、5、6、7、8和9。可得到 \( 9 \times 9 \times 9 = \) 个三位正整数。

如果不使用数字7，我们将有8个可用数字:1、2、3、4、5、6、8和9。可得到 \( 8 \times 8 \times 8 = {512} \) 个三位正整数。

答案是 \( {729} - {512} = {217} \) 。

方法2(直接法):

情况1:三个7:使用三个7:777。我们得到1个这样的正整数。

情况2:两个7:

\[ \begin{array}{lllllllllll} 7 & 7 & x & 7 & x & 7 & x & 7 & x & 7 & 7 \end{array} \]

\( x \) 可以是1、2、3、4、5、6、8和9。我们得到 \( 3 \times 8 = {24} \) 个这样的正整数。

情况3:使用一个7:

\( x \) 和 \( y \) 都可以是1、2、3、4、5、6、8和9。我们得到 \( 3 \times 8 \times 8 = {192} \) 个这样的正整数。

答案是 \( 1 + {24} + {192} = {217} \) 。

问题2。解答:(B)。

设 \( m \) 表示主菜的数量。

根据基本计数原理，顾客可选择的晚餐数量为 \( 5 \times m \times {3m} \) ，该数应大于366。我们尝试 \( m = 4 \) ，得到5 \( \times 4 \times \left( {3 \times 4}\right) = {240} \) ，仍不够大。再试 \( m = 5 \) ，得到 \( 5 \times 5 \times (3 \) \( \times 5) = {375} \) ，已足够大。因此答案为(B)。

问题3。解答:(D)。

我们看到完成这项工作(搭配一套服装)需要三个步骤。若缺少一步，工作就无法完成。只有当3个部分都完成时，工作才算完成。

她有5种方式选择衬衫，4种方式选择裙子，3种方式选择一双鞋。

根据乘法原理(Fundamental Counting Principle)，共有 \( 5 \times 4 \times 3 = {60} \) 套搭配。

问题4。解答:(D)。

星期五有4种选择(除冰淇淋外的任何甜点)，同理星期日也有4种选择。同样，星期三、星期二、星期一和星期日各有4种选择(除次日将供应的甜点外的任何甜点)。因此共有 \( {4}^{6} = {4096} \) 种可能的甜点菜单。

问题5。解答:(B)。

若区域1和区域4用同一种颜色着色，我们有以下方式:

区域

着色方式 \( \;4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 = {48} \)

若区域1和区域4用不同颜色着色，我们有以下方式:

区域

着色方式 \( \;4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 = {24} \)

答案是 \( {48} + {24} = {72} \) 。问题6。解答:(C)。

若区域1和区域3涂同一种颜色:

若区域1与区域3涂不同颜色:

区域

给 \( 3 \times 1 \times 2 \times 1 \) 上色的方法共有 \( {12} + 6 = {18} \) 种。问题7。解答:(B)。情况I: \( A, C \) 与 \( E \) 同色。上色方法数: \( 4 \times 3 \times 3 \times 3 = {108} \) 情况II: \( A, C \) 与 \( E \) 为两种不同颜色。上色方法数: \( 3 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = {432} \) 。

情况III: \( A, C \) 与 \( \mathrm{E} \) 为三种不同颜色。上色方法数: \( P\left( {4,3}\right) \times 2 \times 2 \times 2 = {192} \) 。总共有 \( {108} + {432} + {192} = {732} \) 种上色方法。

问题8。解答:(A)。

方法1:

个位有2种选择(2或4)，因为末位必须为偶数。确定个位后，十位有4种选择，百位有3种选择。答案为 \( 3 \times 4 \times 2 = {24} \) 。

方法2:

当个位为2时，剩余4个数字:1、34、5。十位与百位有 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2 \) !种排列方式。

当个位为4时，剩余4个数字:1、2、3、5。十位与百位有 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2 \) !种排列方式。

答案为 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! + \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! = {12} + {12} = {24} \) 。

问题9。解答:(A)。

方法1(直接法):

情况I:Alex可选1门社会科学课与2门科学课。根据乘法原理，

\[ \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) = {18} \]

情况II:Alex可选2门社会科学课与1门科学课。根据乘法原理， \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right) = {12} \) 。根据加法原理，共有 \( {18} + {12} = {30} \) 种方法。方法2(间接法):

\[ \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) = {30} \]

问题10。解答:(B)。设 \( Q, D, N \) 为所选硬币的quarter(25美分)、dime(10美分)或nickel(5美分)。方法1(直接法):总和不小于30美分的取法数为:

\[ \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) = 4\text{ ways } \]

情况II: \( \;Q\;D\;\left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) = 4 \) 种方式

情况III: \( \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) = 1 \) 种方式，答案是 \( 4 + 4 + 1 = 9 \) 。

方法2(间接法):

总和小于30美分的所有方式数:

总和为 \( 1 + 1 + 4 = 6 \) 。

选取两枚硬币的方法数为 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) = {15} \) 。

答案为 \( {15} - 6 = 9 \) 。

问题11。解答:(A)。

女性之间的握手次数为 \( \left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) = \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2} \) 。

于是我们有 \( \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2} = {36} \Rightarrow \;\left( {n - 1}\right) n = 2 \times {36} = 8 \times 9 \) 。

因此 \( n = 9 \) 。女性人数为9。

同理可得男性人数为8。

女性与男性之间的握手次数为 \( 9 \times 8 = {72} \) 。

问题12。解答:(A)。

我们必须把 \( {pa} \) 视为一个整体。然后从剩下的6个字母中选出3个。最后进行排列，注意 \( {pa} \) 和 \( {ap} \) 是不同的。答案为

\[ \left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) \times 4! \times 2 = {20} \times {24} \times 2 = {960}. \]

问题13。解答:(A)。

我们先安排学生。学生就座后，有五个空位供三位教师选择 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) \) (两端的位置不算，因为每位教师必须坐在两名学生之间)，且他们之间有3!种重新排列的方式。

根据基本计数原理，答案为 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) \times 3! = {120} \) 。

问题14。解答:(C)。

方法一:

我们有5个座位给3名学生。Alex有5种坐法，Alex坐下后，

Bob有4种坐法，Charles有3种坐法。答案是 \( 5 \times 4 \times 3 = {60} \) 。

方法二:

我们先为三名学生选出三把椅子，然后对三名学生进行排列。方法数为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \times 3! = {10} \times 6 = {60} \) 。

问题15。解答:(C)。

我们先种非桦树。有 \( 7!/\left( {4!3!}\right) = {35} \) 种方法。有八个空位供五棵桦树选择 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right) \) 。

根据基本计数原理，答案是 \( {35} \times \left( \begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right) = {1960} \) 。

问题16。解答:(E)。

方法一:

无限制时，我们有6!种方式给6名学生排座(教师顾问的位置固定)。

我们把两个男孩视为一个整体，如图所示。我们有4!种方式给四名女孩排座。

我们乘以2，因为可以交换两个男孩的位置。

我们再乘以 \( 4! \times 2 \) ×2，因为可以交换两个男孩与 \( {G}_{1} \) 的位置。

我们再乘以 \( 4! \times 2 \times 2 \) ×2，因为可以交换两个男孩与 \( {G}_{1} \) 、 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 以及 \( {G}_{3} \) 的位置。

\[ \begin{array}{lllllll} {B}_{1} & {B}_{2} & {G}_{1} & F & {G}_{2} & {G}_{3} & {G}_{4} \end{array} \]

所以答案是 \( 6! - 4! \times 2 \times 2 \times 2 = {528} \) 。

问题17。解答:(B)。

我们有 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \) 种方法在Alex和Betsy之间选择 \( \mathrm{C} \) 和 \( \mathrm{D} \) 。我们让Alex、 \( \mathrm{C} \) 、

D和Betsy组成一个整体。排列数为4!。Alex和Betsy可以互换位置，C和D也可以互换位置。因此答案为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times 4! \times 2 \times 2 = {960} \) 。

问题18。解答:(D)。

男孩可以坐在第2到第6号座位。方法数为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right) \times 4! = {120} \) 。

男孩就座后，有三个位置可供女孩就座。方法数为 \( 3! = 6 \) 。答案为 \( {120} \times 6 = {720} \) 。

问题19。解答:(E)。

我们将两位父母和最年幼的孩子绑在一起形成一个整体。围桌就座有(4-1)!种方式。由于两位父母可以互换位置，结果需乘以2。解答为 \( \left( {4 - 1}\right) ! \times 2 = {12} \) 。

问题20。解答:(D)。

我们已知上题中四位女士有 \( \left( {4 - 1}\right) ! = 3! \) 种就座方式。女士们就座后， \( {\mathrm{M}}_{4} \) (其妻子未在下图显示)有两种坐法。他选定任一可能座位后，其余男士只能按唯一方式就座。解答为 \( 3! \times 2 = {12} \) 。

问题21。解答:(C)。

先让男士就座。

男士就座的方法数为 \( \left( {5 - 1}\right) ! = 4! = {24} \) 。

现在女士 \( 1\left( {w1}\right) \) 有两种就座方式。

如果她坐在 \( {h2} \) 和 \( {h3} \) 之间，如图所示，女士2(w2)可以坐在 \( {h1} \) 和 \( {h5} \) 之间。这样我们就无法按规则就座。

若女士2(w2)坐在 \( {h3} \) 和 \( {h4} \) 之间，我们有两种情况，其中一种可行，如图所示。可行方法数为24。

若女士1(w1)坐在 \( {h4} \) 和 \( {h5} \) 之间，如图所示，女士2(w2)可坐在 \( {h3} \) 和 \( {h4} \) 之间(不可行)或 \( {h1} \) 和 \( {h5} \) 之间(可行)。可行方法数为24。

答案为 \( {24} + {24} = {48} \) 。

问题22。解答:(C)。

方法1(官方解答):

共有 \( 6!/\left( {3!2!1!}\right) = {60} \) 种可区分的珠子在线上的排列顺序。为满足所给条件，红色珠子必须按以下四种配置之一放置:位置1、3和5，位置2、4和6，位置1、3和6，或位置1、4和6。在前两种情况下，蓝色珠子可放在剩余三个位置中的任意一个；在后两种情况下，蓝色珠子只能放在剩余的两个相邻位置之一。每种情况下，白色珠子的位置随之确定。因此共有 \( 2 \times 3 + 2 \times 2 = {10} \) 种满足条件的排列，所求概率为 \( {10}/{60} = 1/6 \) 。

方法2(我们的解答):

根据分组规则，将3颗红珠、2颗白珠和1颗蓝珠排成一行共有 \( \frac{6!}{3!2!} = {60} \) 种方式。

我们通过列举得到相邻珠子颜色互不相同的排列数。

从左到右列出5种方式，

RBWRWR

RWBRWR

RWRBWR

RWRWBR

RWRWRB

从右到左又得到另外5种方式。

概率为 \( \left( {5 + 5}\right) /{60} = 1/6 \) 。

1. 术语

质点法(Mass Point Method)

质点法是一种简化几何图形中线段比例问题的技巧。当该方法适用时，其速度远快于其他涉及比例关系、辅助线绘制或面积叠加的方法。

质点(Mass point)

质点是一个无体积但具有质量的点(顶点或交点)。

在本书中，点 \( A, B \) 和 \( C \) 的质量在任意方程中分别记为 \( {m}_{A},{m}_{B} \) 和 \( {m}_{C} \) 。

在图中，whil 将用于表示某一点的质量。例如，(1) 表示该点的质量为 1 个单位。

质心

质心(center of mass)是物体中质量集中的一点。当物体在质心处被支撑时，物体处于平衡状态。

两个质点由无质量杆连接时，将在它们的质心处平衡。质心位于连接两质点的线段上，并更靠近质量较大的一方。若两质点质量相等，则质心恰位于两者正中间。一般而言，质心是各物体位置按该物体质量加权的加权平均值。